ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ -ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ ( 3ον)

            Ο Γκάους είχε προσεγγίσει το θέμα από μία εντελώς διαφο­ρετική σκοπιά. Κοιτώντας τις γραμμές μιας επιφάνειας, κατέληξε στο θεώρημα ότι η «καμπυλότητα» μιας επιφάνειας είχε να κάνει με τη χρησιμοποιούμενη μετρική (δηλαδή με τη μαθηματική έκφραση που επρόκειτο να χρησιμοποιηθεί για να εκφράσει την από­σταση μεταξύ δύο σημείων). Ο Γκάους απέδειξε ότι η καμπυλότητα ήταν ανεξάρτητη απ' το χώρο στον οποίο υπήρχε η επιφάνεια ήταν μία εγγενής ιδιότητα που σχετιζόταν με το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου σε μια τέτοια επιφάνεια. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, οι ομοιότητες με τη μη ευκλείδεια γεωμετρία είναι εμφανείς.

       Δύο χιλιάδες χρόνια προσπαθειών απόδειξης του 5ου αιτήματος κατέληξαν τελικά στην ολική κατάρρευση του συστήματος. Η ειρωνεία του θέματος είναι ότι η ανακάλυψη γεωμετριών, στις οποίες το αίτημα των παραλλήλων του Ευκλείδη δεν ισχύει, δικαίωνε τον Ευκλείδη, που το συμπεριέλαβε ως αναγκαίο αξίωμα σε πείσμα της εμφανούς πολυπλοκό­τητας του. Η ευκλείδεια γεωμετρία παρέμενε λογικά συνεπής με τον εαυτό της, ήταν όμως μία από τις πολλές δυνατές γεωμετρίες, και δεν ήταν καθόλου προφανές ότι ήταν ή κατεξοχήν γεωμετρία του χώρου. Η αυξανόμενη συνειδητοποίηση των εγγενών ιδιοτήτων του χώρου γινόταν όλο και πιο σημαντική ως μέθοδος έρευνας της πραγμα­τικής γεωμετρίας του χώρου, καθώς δεν υπήρχε κανένας τρόπος να εξε­ρευνήσουμε αυτή τη γεωμετρία εξωγενώς! Και δεν ήταν καθόλου απί­θανο να μεταβαλλόταν η γεωμετρία σε ένα χώρο αντιπαράθεσης και επίδειξης παραδοξοτήτων, αν δεν εμφανιζόταν ένας μαθημα­τικός, που όρισε τη γεωμετρία με έναν εντελώς και­νούργιο τρόπο.

             Ο Μπέρνχαρτ Ρήμαν (1826-66), γιος πάστορα, πέρασε στην ανέχεια τα παιδικά του χρόνια, αλλά εξασφάλισε καλές σπου­δές στο Βερολίνο και στο Γκαίτινγκεν, όπου το 1854 έγινε βοηθός καθηγητή. Για να καταλάβει αυτή τη θέση, έπρεπε να κάνει μια διάλεξη επί διδα­κτορία. . Αυτή ήταν η πιο εντυπωσιακή διάλεξη που έχει γίνει ποτέ στην ιστορία των μαθηματι­κών. Η διατριβή, με τίτλο «Περί των υποθέσεων πάνω στις οποίες θεμελιώ­νεται η γεωμετρία» περιέγραφε με τους ευρύτερους δυνατούς όρους τι συνιστά την γεωμετρία ως αντικείμενο. Αυτή η αντίληψη απείχε παρασάγγας από τον κανόνα και το διαβήτη του Ευκλείδη. Ο Ρήμαν όριζε τη γεωμετρία ως τη μελέτη των πολλαπλο­τήτων - φραγμένων ή μη χώρων οσωνδήποτε δια­στάσεων (ακόμη και άπειρων), μαζί με ένα σύστημα συντε- ταγμένων και μία μετρική για τον ορισμό της βραχύτερης απόστασης μεταξύ δύο σημείων. Στην τρισδιάστατη ευκλείδεια γεωμετρία η μετρική παριστάνεται απ' τον τύπο   ds²=dχ²+dy²+αz², το διαφορικό αντίστοιχο του πυθαγόρειου θεωρήματος. Αυτές οι πολλα­πλότητες είναι ο ίδιος ο χώρος, χωρίς εξωτερικό σύστημα αναφοράς. Η καμπυλότητα του χώρου οριζόταν έτσι απολύτως ως συνάρτηση εγγενών ιδιοτήτων των πολλαπλοτήτων σε οποιοδήποτε είδος χώρου. Για τον Ρήμαν, αντικείμενο της γεωμετρίας ήταν η μελέτη συνό­λων διατεταγμένων νυάδων και των κανόνων διάταξης τους· οι ιδέες του για τον χώρο ήταν τόσο γενικές ώστε να μοιάζουν μη χωρικές και οποιαδήποτε σχέση μεταξύ μεταβλητών να μπορεί να θεωρηθεί ως «χώρος». Εάν ένα σύστημα δεν είναι εφοδιασμένο με μετρική, τότε βρισκόμαστε σ' έναν κλάδο των μαθηματικών που είναι γνωστός ως τοπολογία, η οποία μελετά τον τρόπο, με τον οποίο οι περιοχές του χώρου συνδέονται μεταξύ τους.

                  Ο Ρήμαν είχε εφεύρει εργαλεία, τα οποία τώρα βρίσκονται στην εργαλειοθήκη όλων των μαθηματικών. Δεν είναι να εκπλήσσεται κανείς που στη συγκεκριμένη περίπτωση ακόμα κι αυτός ο φειδωλός Γκάους εκφράστηκε με ενθουσιώδη λόγια για τη δουλειά κάποιου άλλου. Μέσα σ' αυτή τη γενικευμένη γεωμετρία του Ρήμαν, η ευκλείδεια γεωμε­τρία δεν είναι παρά το διάστημα που ορίζεται από σταθερή καμπυλότητα 0· η γεωμετρια του Λομπατσέφσκι έχει καμπυλότητα -1 και η σφαιρική γεωμετρία καμπυλότητα +1. Αν και ο Ρήμαν μπορούσε να θεωρηθεί ο νέος Ευκλείδης, το όνομα του συνδέθηκε με μία πολύ συγκεκριμένη γεωμετρία, εκείνη της ερμηνείας του επιπέδου ως απεικόνισης μια; σφαίρας.

                  Ο Ρήμαν ασχολήθηκε αργότερα και με τη θεωρητική φυσική, όπου η γενική μελέτη των καμπυλόγραμμων μετρικών χώρων άνοιξε το δρόμο για τη Γενική Σχετικότητα. Ο χώρος στον οποίο ζούμε δεν ήταν πια ευκλείδειος και τώρα είχαμε τα μαθηματικά εργαλεία για να εξερευνήσουμε την πραγματική γεωμετρία του σύμπαντος.

Σ τη γεωμετρία βρίσκω ορισμένες ατέλειες που θεωρώ ότι ευθύνονται για το ότι αυτή η -επιστήμη, αν εξαιρέσουμε τη μετάβαση της στην ανάλυση, δεν έχει κάνει καμιά πρόοδο από τότε που μας παραδόθηκε απ' τον Ευκλείδη. Σ' αυτές τις ατέλειες θεωρώ ότι κατατάσσεται η ασάφεια στις βασικές έννοιες των γεωμετρικών μεγεθών και στον τρόπο παρουσίασης της μέτρησης αυτών των μεγεθών και τελικά το τεράστιο κενό στη θεωρία των παραλλήλων, που όλες οι μέχρι τώρα προσπάθειες των επιστημό­νων δεν κατάφεραν να γεφυρώσουν.

Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι, Η θεωρία των παραλλήλων, 1840