ΕΚΛΟΓΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΙΟΥΝΙΟΣ

Ποτέ μην ψηφίζετε τον καλύτερο υποψήφιο,         Πάρε όλους τους τρελούς με το μέρος σου κai

ψηφίζετε εκείνον που θα κάνει τη μικρότερη ζημιά,    μπορείς να εκλεγείς ό,τι θέλεις.

FRANK DANE

Εκλογικά μαγειρέματα. Πως μπορείτε να νικήσετε όλους τους αντιπάλους σας

-                                                                                                                                                                   \

Είναι γνωστές οι αντιδικίες των κομμάτων (τουλάχιστο στην Ελλάδα) για το εκλογικό σύστημα που ισχύει ή θα ισχύσει στις εκάστοτε εκλογικές αναμετρήσεις, ιδιαίτερα στις βουλευτικές εκλογές. Ακόμα κι αν οι εκλογικές περιφέρειες είναι άριστα και δίκαια κατανεμημένες, δεν είναι καθόλου σαφές αν το εκλογικό αποτέλεσμα αντανακλά τις προτιμήσεις της πλειοψηφίας.

Ήδη τον 18ο αιώνα, ο Γάλλος μαθηματικός και πολιτικός φιλόσοφος MARQUIS DE CONDORCET (στον οποίον οφείλεται και το κλασικό πρόβλημα των συναντήσεων, ) διατύπωσε το ομώνυμο παράδοξο CONDORCET .Το παράδοξο αυτό λέει ότι, σε περίπτωση που έχουμε πάνω από δύο υποψηφίους, έστω Α,Β,Γ, δεν ισχύει η μεταβατική ιδιότητα, με την έννοια ότι αν κατά πλειοψηφία ο Α προτιμάται από τον Β και ο Β από τον Γ, αυτό δεν συνεπάγεται κατ' ανάγκη την προτίμηση του Α έναντι του Γ. Μπορεί μάλιστα να συμβαίνει και το αντίθετο. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι 50 μαθητές, ερωτώμενοι για 3 δάσκαλους τους, Α,Β,Γ μεταξύ Α και Β, 35 προτιμούν τον Α και 15 τον Β, μεταξύ Β και Γ, 30 τον Β και 20 τον Γ' μεταξύ όμως Α και Γ είναι δυνατόν 30 να προτιμήσουν τον Γ και 20 τον Α.

Στο παράδοξο του CONDORCET επανήλθε το 1940 ο οικονομολόγος DUNCAN BLACK. Το έργο του BLACK παρακίνησε τον νομπελίστα στα οικονομικά KENNETH ARROW (του Πανεπιστημίου STANFORD), ο οποίος απέδειξε, το 1951 στη διδακτορική του διατριβή, ότι δεν είναι δυνατό να επινοηθεί εκλογικό σύστημα το οποίο να εκλέγει νικητή ανάμεσα σε τρεις ή περισσότερους υποψήφιους έτσι ώστε να ικανοποιούνται κάποια κριτήρια ή αξιώματα δικαίου (βλ. SOCIAL CHOICE AND INDIVIDUAL VALUES). Το 1952, ο μαθηματικός KENNETH MAY απέδειξε ότι εκλογές με το πλειοψηφικό σύστημα και με δύο μόνον υποψηφίονς είναι το μόνο εκλογικό σύστημα που είναι δίκαιο, τόσο για το εκλογικό σώμα όσο και για τους υποψήφιους.

Το Εκλογικό Σύστημα CONDORCET . Αρχικά προτάθηκε για εκκλησιαστικές εκλογές τον 13ο αιώνα από τον RAMON LLULL, ο δε CONDORCET προώθησε τη χρήση του. Εδώ νικητής είναι όποιος νικήσει όλους τους αντιπάλους του σε κατά ζεύγη μικροεκλογές.

Κατά συνέπεια έχει το μειονέκτημα ότι μπορεί να αποβεί άκαρπο - να μην εκλεγεί κανένας.

Οι μαθηματικοί δεν έπαυσαν να ενδιαφέρονται για τα παράδοξα των εκλογών, προσπαθώντας να ελαχιστοποιήσουν τα τρωτά των εκλογικών συστημάτων.

Όταν οι ψηφοφόροι προσπαθούν να μαντέψουν πως θα ψηφίσουν οι άλλοι σε μια δεύτερη αναμέτρηση, ουσιαστικά οδηγούμεθα στη Θεωρία Παιγνίων. Ενδιαφέρον είναι το εξής παράδειγμα - εκλογικό τέχνασμα:

Το 1956 εισάγεται στη Βουλή των Αντιπροσώπων των ΗΠΑ το Νομοσχέδιο για ομοσπονδιακή βοήθεια για κατασκευή σχολικών κτιρίων. Η Βουλή επιστρατεύει ένα τουρνουά εκλογών: Πρώτα θέτει σε ψηφοφορία το αρχικό νομοσχέδιο, το τροποποιημένο ή κανένα νομοσχέδιο. Αν περάσει το τροποποιημένο νομοσχέδιο, τότε η εκλογή θα είναι μεταξύ του τροποποιημένου και του «κανένα». Αν όμως περάσει το αρχικό νομοσχέδιο, η επιλογή θα είναι: αυτό ή «κανένα». Με τον τρόπο αυτό επιδιώκεται ο επηρεασμός της 2ης προτίμησης του ψηφοφόρου σε περίπτωση που η πρώτη του προτίμηση δεν πέρασε. Ακόμα, είναι δυνατό να γίνει χειραγώγηση της διαδικασίας, όπως μάλιστα πίστεψαν πολλοί ότι έγινε τότε. Ο διάσημος πολιτικός επιστήμονας WILLIAM RIKER ανέπτυξε μια θεωρία για τον τρόπο με τον οποίο οι πολιτικοί μπορούν να "μανουβράρουν" τα πράγματα προς την επιθυμητή τους κατεύθυνση. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, επεσήμανε ότι οι Ρεπουπλικάνοι δεν ήθελαν καμία μορφή του Ν., και στον Ιο γύρο συμμάχησαν με τους Δημοκράτες του Βορρά υπέρ του τροποποιημένου Ν. (Βοήθεια μόνο στα σχολεία χωρίς φυλετικές διακρίσεις), ενώ οι Δημοκράτες του Νότου ψήφισαν το αρχικό Ν. (Βοήθεια σ' όλα τα σχολεία είτε κάνουν ή όχι διακρίσεις). Το τροποποιημένο Ν. κέρδισε τον Ιο γύρο. Στο 2° όμως γύρο, οι Ρεπουπλικάνοι ψήφισαν την 1η τους προτίμηση, κανένα Ν., μαζί με τους Δημοκράτες του Νότου, που ήθελαν το αρχικό ή κανένα Ν.

Σήμερα υπάρχουν μαθηματικοί, όπως ο DONALD SAARI, που αναλύουν τις εκλογικές διαδικασίες κάνοντας χρήση πρόσφατων μαθηματικών θεωριών, π.χ., του χάους, των αλγεβρικών συμμετριών, των γεωμετρικών δομών, κ.ά. Όπως αναφέρει ο SAARI «Το ψηφίζειν (εκλέγειν) είναι βασικό σε μία δημοκρατία. Όμως το εκλογικό αποτέλεσμα εκπροσωπεί αυτό που θέλουν οι ψηφοφόροι; ...» Όχι κατ' ανάγκη.... Γιατί όμως; Πολιτικοί επιστήμονες, πολιτικοί, οικονομολόγοι, μαθηματικοί, στατιστικοί κ.ά. ανέκαθεν προσπαθούν να εξηγήσουν το «γιατί». Τα αίτια αρχίζουν να διαφαίνονται μέσα από τις συμμετρίες που ανακαλύπτουν οι μαθηματικοί.

Αξίζει να σημειωθεί ότι ο SAARI αποδεικνύει ότι μπορεί να σχεδιασθεί ένα εκλογικό σύστημα που κερδίζει δεδομένη επιλογή αν έχουμε μια ιδέα του τι θέλουν οι ψηφοφόροι. Μια σειρά εκλογικών πακέτων οδηγεί τελικά στο ποθούμενο αποτέλεσμα!

ΘΕΟΦΙΛΟΣ ΚΑΚΟΥΛΟΣ -ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ