BLAISE PASCAL (1623 -1662 ) "ΠΕΡΙ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΠΝΕΥΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΕΧΝΗΣ ΤΗΣ ΠΕΙΘΟΥΣ"

Η τέχνη, λοιπόν, την οποία εγώ αποκαλώ τέ­χνη της πειθούς, και που επί το ακριβέστερον δεν είναι παρά ο τρόπος ανάπτυξης αποδείξεων με­θοδικών και τέλειων, συνίσταται στα εξής τρία ουσιώδη:


να ορίζει κανείς τους όρους που πρό­κειται να χρησιμοποιήσει με σαφείς ορισμούς,      


να διατυπώνει προφανείς αρχές ή αξιώματα για να αποδείξει τα εν λόγω, 


και να αντικαθιστά διαρ­κώς νοερά στην απόδειξη τα οριζόμενα με τους πλήρεις ορισμούς.

Η λογική αυτής της μεθόδου είναι πασιφανής. Θα ήταν ανώφελο να διατυπώσουμε αυτό που θέ­λουμε να αποδείξουμε και να επιχειρήσουμε την απόδειξη του, αν προηγουμένως δεν έχουμε ορί­σει όλους τους όρους που δεν είναι κατανοητοί. Και πρέπει, επίσης, να προηγείται της απόδειξης η αναφορά των αυταπόδεικτων αρχών που απαι­τούνται, διότι δεν μπορούμε να έχουμε σταθερό κτίσμα δίχως σταθερά θεμέλια. Τέλος, οφείλουμε κατά την απόδειξη να υποκαθιστούμε τα οριζό­μενα με τον πλήρη ορισμό τους, ειδάλλως μπορεί να γίνει κατάχρηση των διαφορετικών εννοιών που απαντούν στους όρους. Εύκολα αντιλαμβά­νεται κανείς ότι τηρώντας αυτήν τη μέθοδο είναι βέβαιο ότι θα πείσουμε, αφού, αν όλοι οι όροι εί­ναι πλήρως αντιληπτοί και τελείως απαλλαγμέ­νοι από αμφισημίες οφειλόμενες στους ορισμούς, αν οι αρχές είναι παραδεδεγμένες, και αν κατά την απόδειξη υποκαθιστούμε διαρκώς νοερά τα οριζόμενα με τους ορισμούς, τότε η ακατανίκητη ισχύς των συνεπαγωγών δεν μπορεί παρά να επι­φέρει το επιθυμητό αποτέλεσμα.

Μια απόδειξη κατά την οποία τηρούνται αυ­τές οι συνθήκες δεν επιδέχεται ποτέ την παραμι­κρή αμφισβήτηση. Αντιθέτως, όσες αποδείξεις τις παραβλέπουν δεν μπορούν ποτέ να έχουν ισχύ.

 Είναι επομένως πολύ σημαντικό να τις κατα­νοήσουμε καλά και να τις κατέχουμε επαρκώς, και γι' αυτό, για μεγαλύτερη ευκολία και σαφή­νεια, θα τις παραθέσω όλες στους παρακάτω λι­γοστούς κανόνες που εμπερικλείουν όλα όσα εί­ναι απαραίτητα για την τελειοποίηση των ορι­σμών, των αξιωμάτων και των αποδείξεων, και συνεπώς για τη μέθοδο των γεωμετρικών αποδεί­ξεων της τέχνης της πειθούς στο σύνολο της.

Κανόνες για τους ορισμούς:
1. Μην επιχειρείτε να ορίσετε πράγματα τόσο γνωστά από μόνα τους, που δεν υπάρχει κανένας σαφέστερος όρος για να τα εξηγήσει.
2. Μη δέχεστε κανέναν όρο κάπως ασαφή ή αμφίσημο, δίχως ορισμό.
3. Να χρησιμοποιείτε στον ορισμό των όρων μονάχα λέξεις απολύτως γνωστές ή που έχουν
ήδη εξηγηθεί.

Κανόνες για τα αξιώματα:

1.   Μη δέχεστε καμιά από τις αναγκαίες αρχές δίχως να συμφωνήσετε ότι είναι αποδεκτή από όλους, όσο σαφής ή προφανής κι αν είναι.

2.   Να δέχεστε υπό μορφήν αξιώματος μόνον όσα είναι τελείως προφανή και αυταπόδεικτα.

Κανόνες για τις αποδείξεις:

1. Μην επιχειρείτε να αποδείξετε πράγματα τόσο προφανή από μόνα τους, που δεν υπάρχει τίποτα σαφέστερο για να τα αποδείξει.

2.   Να αποδεικνύετε όλες τις κάπως ασαφείς προτάσεις και να μη χρησιμοποιείτε για την από­δειξη τους παρά μονάχα πολύ προφανή αξιώμα­τα ή προτάσεις ήδη παραδεδεγμένες ή αποδεδειγ­μένες.

3.   Να αντικαθιστάτε διαρκώς νοερά τα οριζό­μενα με τους πλήρεις ορισμούς, για να μην παρα­συρθείτε από την ενδεχόμενη αμφισημία κάποιων όρων λόγω της συνοπτικής διατύπωσης τους.

Ιδού οι οχτώ κανόνες που περιέχουν τις βασι­κές αρχές για αποδείξεις στέρεες κι ακλόνητες. Τρεις εξ αυτών δεν είναι απολύτως αναγκαίοι και μπορούμε να τους αγνοήσουμε δίχως κίνδυνο λά­θους. Είναι μάλιστα δύσκολο, σχεδόν αδύνατο, να τους τηρούμε πάντα κατά γράμμα, αν και ευκταίο θα ήταν να το κάνουμε όταν κι εφόσον μπορούμε. Είναι οι τρεις πρώτοι κάθε κατηγορίας:

Για τους ορισμούς: Μην ορίζετε τους όρους που είναι ήδη απολύτως γνωστοί.

Για τα αξιώματα: Μη δέχεστε να τεθεί εν αμ­φιβάλω κανένα από τα αξιώματα που είναι τελεί­ως προφανή και απλά.

Για τις αποδείξεις: Μην αποδεικνύετε τίποτα γνωστό από μόνο του.

Γιατί, το δίχως άλλο, δεν είναι δα και μεγάλο λάθος να ορίζει κανείς και να εξηγεί πράγματα με σαφήνεια, έστω κι αν είναι σαφέστατα από μόνα τους, ούτε είναι λάθος να βεβαιώνεται εκ των προτέρων για αξιώματα που δεν θα ήταν δυ­νατόν να απορριφθούν εκεί όπου χρειάζονται, ούτε τέλος είναι κακό να αποδεικνύει προτάσεις οι οποίες θα γίνονταν ούτως ή άλλως δεκτές και χωρίς απόδειξη.

Όμως οι άλλοι πέντε κανόνες είναι απολύτως απαραίτητοι, και δεν μπορεί κανείς να τους πα­ρακάμψει δίχως αυτό να προκαλέσει ένα ουσιώ­δες μειονέκτημα στο συλλογισμό του και, συχνά, κάποιο σφάλμα· και γι' αυτό θα τους επαναλάβω εδώ αναλυτικά.

Αναγκαίοι κανόνες για τους ορισμούς: Να μη γίνεται δεκτός κανένας από τους κάπως ασαφείς ή διφορούμενους όρους, δίχως ορισμό. Στους ορισμούς να χρησιμοποιούνται μονάχα όροι γνω­στοί ή που έχουν ήδη εξηγηθεί.

Αναγκαίοι κανόνες για τα αξιώματα: Υπό μορφήν αξιωμάτων να γίνονται δεκτά μονάχα προφανή πράγματα.

Αναγκαίοι κανόνες για τις αποδείξεις: Όλες οι προτάσεις να αποδεικνύονται χρησιμοποιώ­ντας μονάχα αξιώματα πολύ σαφή από μόνα τους ή προτάσεις ήδη αποδεδειγμένες ή συμπεφωνημέ­νες. Να μη γίνεται επ' ουδενί κατάχρηση της αμ­φισημίας των όρων, παραλείποντας τη νοερή αντικατάσταση τους με τους πλήρεις ορισμούς που τους περιορίζουν ή τους εξηγούν.

[Ιδού οι πέντε κανόνες που συγκροτούν ό,τι είναι απαραίτητο για να κάνουμε τις αποδείξεις πειστικές, ακλόνητες και -γιατί όχι;- γεωμετρι­κές. Και οι οκτώ κανόνες μαζί τις κάνουν ακόμη τελειότερες.