 |
| DAVID HILBERT 1862-1943 |
Η σχολή των Φορμαλιστών ήταν
μια από τις 3 σχολές φιλοσοφίας των
Μαθηματικών στις αρχές του αιώνα μας (ΣΧΟΛΗ ΛΟΓΙΚΙΣΜΟΥ-ΣΧΟΛΗ ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΩΝ).
Της σχολής αυτής ηγείται ο David Hilbert .
Είχε ήδη προβεί στην αξιωματική θεμελίωση της γεωμετρίας και είχε αποδείξει ότι η θεμελίωση
αυτή είναι συνεπής (δεν περιέχει δηλαδή αντιφατικές προτάσεις ), αν το αριθμητικό
σύστημα είναι συνεπές. Ήταν λοιπόν θέμα
ζωτικής σημασίας να αποδειχθεί ότι το αριθμητικό σύστημα είναι
συνεπές και αυτό να γίνει χωρίς
τη χρήση της θεωρίας συνόλων.
Οι φορμαλιστές υποστηρίζουν ότι
η λογική πρέπει να μελετάται εκ
παραλλήλου με τα Μαθηματικά. Η
λογική είναι μια γλώσσα σημάτων, η όποια τακτοποιεί τις μαθηματικές
προτάσεις σε τύπους και εκφράζει τους συλλογισμούς ακολουθώντας κάποια αξιώματα. Τα αντικείμενα της μαθηματικής
σκέψης είναι τα ίδια τα σύμβολα.
Τα σύμβολα είναι η ουσία.
Για τους φορμαλιστές τα
Μαθηματικά είναι μια συλλογή από
τυπικά (αξιωματικά) συστήματα, το κάθε
ένα από τα οποία έχει την δική
του λογική, τις δικές του αρχές, τα δικά του αξιώματα , τους δικούς του κανόνες
για την απόκτηση θεωρημάτων. Ετσι καταλήγουν να είναι μια συλλογή τυπικών αξιωμάτων, στο
κάθε ένα από τα οποία τυπικές εκφράσεις προκύπτουν από άλλες τυπικές εκφράσεις, το δε έργο της μαθηματικής επιστήμης είναι να
αναπτύξει αυτά τα συστήματα.
Η σχολή του Hilbert είχε αποδείξει την συνέπεια πολύ απλών
τυπικών συστημάτων και είχε νομισθεί ότι
σύντομα θα αποδεικνύονταν και η συνέπεια
του αριθμητικού συστήματος και της θεωρίας συνόλων. Στο σημείο αυτό εισήλθε στο προσκήνιο ο Kurt
Gödel
(1906-1978)
αυστριακός μαθηματικός, ο οποίος
διατυπώνει το « θεώρημα
Μη-πληρότητας » και απέκλεισε την πλήρη αξιωματοποίηση των Μαθηματικών.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου