FRIEDRICH NIETZSCHE (1844-1900)

19ος  ΑΙΩΝΑΣ

            Είναι σίγουρο ότι ο Φρειδερίκος Νίτσε γνώριζε πολύ καλά το πεπρωμένο του: «Γνωρίζω τη μοίρα μου» έλεγε «θα συνδεθεί με το όνομα μου μία κρίση, τέ­τοια που δεν θα έχει υπάρξει άλλη στη Γη. Δεν είμαι άνθρωπος, είμαι δυναμίτης· α­ντικρούω τα γεγονότα όπως δεν τα έχει α­ντικρούσει ποτέ κανείς». Σήμερα, έναν αιώνα μετά τον θάνατο του, μπορούμε να πούμε ότι η προφητεία έχει πραγματο­ποιηθεί. Είτε τον θεωρούμε φιλόσοφο του ναζισμού, είτε, αντίθετα, τον θεω­ρούμε προφήτη της κρίσης της Δύσης, ο Νίτσε παραμένει ο πιο σημαντικός στο­χαστής του εικοστού αιώνα, εκείνος που φθάνει πολύ πιο πέρα από τα σύνορα της φιλοσοφίας.

         Μόλις στα είκοσι τέσσερα χρόνια του, αφού σπούδασε κλασική φιλολογία στη Βόννη, έλαβε την έδρα του Πανεπιστημί­ου της Βασιλείας. Εδώ ανέπτυξε μία φι­λία με τον Ριχάρδο Βάγκνερ και διάβασε το έργο του Σοπενχάουερ Ο Κόσμος ως βούληση και παράσταση. Η λαμπρή ακα­δημαϊκή καριέρα του διακόπηκε μόλις μετά από δέκα χρόνια, το 1879. Μετά από την απόφαση του να εγκαταλείψει τη διδασκαλία, λόγω προβλημάτων υγείας, ακολούθησε μία μα­κρά περίοδος αεικίνητων ταξιδιών στην Ελβετία, στη Γαλλία και στην Ιταλία. Τα πιο σημαντικά του έργα ανήκουν σ' αυτήν την περίοδο, η οποία ακολούθησε τη ρήξη στη σχέση του με τον Βάγκνερ και την υπέρβαση του πεσιμισμού του Σοπενχάουερ. Στο Τορίνο, σης 3 Ιανουαρίου του 1889, τον έ­πιασε μία κρίση τρέλας (η οποία προκλήθηκε από την όξυνση ενός αφροδίσιου νοσήματος που είχε κολλήσει σε νεαρή ηλικία) από την οποία δεν κατάφερε να αναρρώσει ποτέ, ζώντας την τελευταία δεκαετία της ζωής του παραδομένος στις φροντίδες της μητέρας του και μετά της αδελφής του.

Έργα:   Η γέννηση της τραγωδίας στην Ελλάδα (1872), Απαρχαιωμένες αντιλήψεις (1876), Ανθρώπινος, υ­περβολικά ανθρώπινος· (1878), Αυγή (1882), Η χαρούμενη επιστήμη (1882), Έτσι μίλησε ο Ζαρατούστρα (1883), Πέραν του καλού και του κακού. Πρελούδιο σε μία φιλοσοφία του μέλλοντος (1886), Περί τηςγενεαλογίας· της·ηθικής-(1887), Η περίπτωση Βάγκνερ(1888), Η παρακμή των ειδώλων( 1888), ο Αντίχριστος(1888), Ο Εσταυρωμένος(1888).

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ-ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ (2ον)

……………………………………………………………………………………………………………

          Στις αρχές του 19ου αι., όταν όλες οι προσπάθειες απόδειξης του 5ου αξιώματος είχαν καταλήξει σε αποτυχία, οι μαθηματικοί είχαν αρχίσει να εξετάζουν την πιθανότητα να υπάρχουν και μη ευκλείδειες, συνεπείς με τον εαυτό τους γεωμετρίες. Σ' ένα ακόμα καταπληκτικό σενάριο ταυτόχρονης ανακάλυψης, δύο άγνωστοι έως τότε μαθηματικό, παίζουν πρωταγωνιστικό ρόλο.

         

           Ο Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι (1793-1856) ήταν γιος ενός χαμηλόβαθμου δημοσίου υπαλλήλου στη Ρωσία ο οποίος πέθανε όταν ο Νικολάι ήταν εφτά χρονών, αφήνοντας μία χήρα και τρεις γιους σε πολύ δύσκολη οικονομική κατάσταση. Μετακομίζοντας ατό Καζάν, τα παιδιά αρίστευαν στα μαθήματα και ο Νικολάι περισσότερο απ' όλους. Μπήκε στο καινούργιο τότε Πανεπιστήμιο του Καζάν σε ηλικία δεκατεσσάρων ετών, όπου ήρθε σε επαφή με διακεκριμένους καθηγητές, Γερμανούς κυρίως. Σε ηλικία εικοσιενός ετών ο Λομπατσέφσκι διορίστηκε βοηθός και δύο χρόνια αργότερα τακτικός καθηγητής. Καθώς ήταν υπομονετικός, μεθοδικός και εξαιρετικά εργατικός, κέρδισε την εκτίμηση των συναδέλφων του, οι οποίοι τον φόρτωναν με όλων των ειδών τις άχα­ρες διοικητικές δουλειές. Βρέθηκε έτσι να είναι, εκτός των άλλων, βιβλιοθηκάριος άλλο και έφορος του χαώδους μουσείου του πανεπιστημίου. Χωρίς βοηθούς, έκανε όλη τη δουλειά μόνος του, βάζοντας τάξη και στη βιβλιοθήκη και οτο μουσείο.

          

          Το 1825 η κυβέρνηση διόρισε επιτέλους έναν επαγγελματία έφορο στο πανεπιστήμιο ο οποίος χρησιμοποίησε τις πολιτικές του διασυνδέσεις για να προωθήσει τον Λομπα­τσέφσκι στην κορυφή της ιεραρχίας. Το 1827 ονομάστηκε πρύτανης του πανεπιστήμιο και με τη συνηθισμένη φιλοτιμία του άρχισε να αναδιοργανώνει το προσωπικό, να φιλελευρεροποιει την διδασκαλία και νά βελτιώνει την υλική υποδομή. Μια σημαντική ενέργειά του ήταν η ίδρυση ενός αστεροσκοπείου. Το πανεπιστήμιο ήταν η ζωή του και το λάτρευε. Το1830, όταν η πόλη του Καζάν χτυπήθηκε από τη χολέρα, ο Λομπατσέφκσι διέταξε όλους τους φοιτητές, το προσωπικό και τις οικογένειες τους να κλειστούν μέσα στο χώρο του πανεπιστημίου. Με τους αυστηρούς κανόνες υγιεινής που επέβαλε, κατάφερε να έχει μόνο 16 νεκρούς από τους 660 έγκλειστους. Το 1846, σε αναγνώριση προφανώς της ακούραστης δουλειάς του για το καλό του Πανεπιστημίου του Καζάν, η κυβέρνηση εντε­λώς ανεξήγητα τον καθαίρεσε από πρύτανη και του αφαίρεσε και την έδρα του καθηγητη. Οι συνάδελφοι του και οι φίλοι έκαναν έντονες παραστάσεις στις αρχές αλλά μάταια. Η όραση του είχε τώρα πια αρχίσει να τον εγκαταλείπει, αλλά εκείνος συνέχιζε τις μαθηματικές του έρευνες. Την τελευταία του δημοσίευση αναγκάστηκε να την υπαγορεύσει, καθως ήταν πια σχεδόν ολοκληρωτικά τυφλός.

   

           Το 1826 ο Λομπατσέφσκι υπέβαλε την πρώτη του εργασία στο πανεπιστήμιο (στα γαλλικά, που τότε ήταν η γλώσσα της εκπαίδευσης), στην οποία προδιέγραψε μερικές απ' τις ιδέες του για τη γεωμετρία αλλά ο Αγγελιαφόρος του Καζάν χρειάστηκε τρία ολόκληρα χρόνια για να δημοσιεύσει τις Αρχές γεωμετρίας. Έτσι, η επίσημη χρονολογία γέννησης της μη ευκλείδειας γεωμετρίας, τουλάχιστον στη μορφή που την παρουσίασε ο Λομπα­τσέφσκι, είναι το 1829. Στην εργασία του δήλωνε ότι το 5ο αίτημα δεν μπορούσε να αποδε­χθεί και κατασκεύαζε μια καινούργια γεωμετρία αντικαθιστώντας το αίτημα αυτό με ένα άλλο. Υιοθέτησε στο σύνολο του αυτό που ο Σακέρι και ο Λάμπερτ είχαν μόνο υποπτευθει και κατασκεύασε μια γεωμετρία, το ίδιο αυστηρή και λογική όσο και η ευκλείδεια. Ακόμα και για τον ίδιο τον Λομπατσέφσκι, μερικά απ' τα θεω­ρήματα στα οποία κατέληξε έμοιαζαν αντίθετα με την κοινή άποψη περί χώρου γι αυτό και ονόμασε την ανακάλυψη του «φανταστική γεωμε­τρία». Όμως δεν είχε καμία αμφιβολία για τη σημασία της εργασίας του. Ανάμεσα στο 1835 και στο 1838 εκδόθηκε στα ρωσικά το βιβλίο του Νέες βάσεις της γεωμετρίας και το 1840 το Γεωμετρικές έρευνες πάνω στη θεωρία των παραλλήλων στα γερμανικά. Με βάση αυτό το βιβλίο, ο Γκάους σύστησε τον Λομπατσέφσκι στην Επιστημονική Εταιρεία του Γκαίτινγκεν, μέλος της οποίας έγινε το 1842. Ωστόσο, ο Γκάους αρνήθηκε να υποστηρίξει επίσημα την εργασία του Λομπα­τσέφσκι, συμβάλλοντας έτσι στην αργή διάδοση στη μαθηματική κοι­νότητα αυτών των επαναστατικών ιδεών. Αυτό για τον Λομπατσέφσκι ήταν μεγάλη απογοήτευση, ιδιαίτερα τώρα που είχε απολυθεί από το πανεπιστήμιο και ένιωθε ότι επρόκειτο να τυφλωθεί. Το 1855 το τελευ­ταίο του βιβλίο, Η πανγεωμετρία εκδόθηκε ταυτόχρονα στα γαλλικά και στα ρωσικά. Ο Λομπατσέφσκι, «ο Κοπέρνικος της γεωμετρίας», πέθανε την επόμενη χρονιά. Η φυσική ερμηνεία της μη ευκλείδειας γεωμετρίας έγινε από τον Ευγένιο Μπελτράμι (1835-1900) που απέδειξε ότι η επιφά­νεια της ψευδοσφαίρας ικανοποιούσε τη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι αλλά και τη ν προγενέστερη εργασία του Λάμπερτ.

             Το καινούργιο αίτημα του Λομπατσέφσκι μπορεί να εξηγηθεί ως εξής. Ας φανταστούμε μία ευθεία γραμμή που προεκτείνεται επ' άπειρον και ας πάρουμε ένα σημείο στο χώρο που να μη βρίσκεται πάνω σ' αυτή τη γραμμή. Το αίτημα του Ευκλείδη λέει ότι απ' αυτό το σημείο μπορεί να αχθεί μία και μόνο γραμμή, η οποία να είναι παράλληλη με την πρώτη. Ο Λομπατσέφσκι λέει ότι από αυτό το σημείο μπορούν να αχθούν πολ­λές γραμμές και όλες αυτές να είναι παράλληλες προς την αρχική, με την έννοια ότι δεν συναντιούνται μαζί της πουθενά. Εάν εκφράσουμε αυτή την ιδέα με μαθηματικούς όρους, καταλήγουμε σε μία περίεργη μεν αλλά εντελώς λογική και συνεκτική γεωμετρία. Στη ν πραγματικό­τητα, υπάρχουν άπειρες τέτοιες γεωμετρίες, που η καθεμιά τους εξαρτάται από τη «γωνία του παραλληλισμού».

           Η απροθυμία του Γκάους να προωθήσει την εργασία του Λομπα­τσέφσκι μπορεί να αποδοθεί στην επιθυμία του να κρατήσει ίσες απο­στάσεις από τον Λομπατσέφσκι και απ' το φίλο του Φάρκας Μπόλυαϊ, του οποίου ο γιος Γιάνος (1802-60) είχε αναπτύξει, παράλληλα με τον Λομπατσέφσκι, μία μη ευκλείδεια γεωμετρία. Ο Φάρκας ήταν καθηγητής μαθηματικών σ' ένα χωριό στην Ουγγαρία (που τώρα βρί­σκεται στη Ρουμανία) και είχε παθιαστεί με την προσπάθεια να αποδεί­ξει το 5ο αίτημα. Όταν συνέχισε ο γιος του το έργο αυτό, θεώρησε ότι ματαιοπονεί και του έγραψε λέγοντας «για τ' όνομα του Θεού, σε ικετεύω, παράτα τα. Αυτό το πάθος είναι χειρότερο κι απ' το πάθος του αισθησιασμού, γιατί μπορεί να σου στερήσει το χρόνο σου, την υγεία σου, την ψυχική σου ηρεμία και την ευτυχία σου>>Ο Γιάνος δεν πείστηκε απ' αυτές τις αποστροφές, αλλά συνέχισε απτόητος τις έρευνες του, για να φτάσει το 1829 στα ίδια σχεδόν συμπεράσματα με τον Λομπατσέφσκι.

            Ο Μπόλυαϊ ανέπτυξε αυτό που ονόμαζε ο ίδιος την «απόλυτη επιστήμη του χώρου» πάνω στις ίδιες αρχές με τον Λομπατσέφσκι. Ο πατέρας του δημοσίευσε αυτή την εργα­σία σαν παράρτημα σε μία δική του πραγματεία. Το έργο έχει χρονολογία 1829, την ίδια με το άρθρο του Λομπατσέφσκι, αλλά δεν τυπώθηκε παρά μόνο το 1832. Στριμωγμένο κάπου στο τέλος ενός παλαιομοδίτικου βιβλίου, μπορεί να είχε μείνει εντελώς άγνωστο, εάν ο Φάρκας δεν ήταν φίλος του Γκάους, στον οποίο έστειλε ένα αντίγραφο. Η αντί­δραση του Γκάους ήταν να εκφράσει στεγνά την επιδοκιμασία του, αλλά να αρνηθεί τη δημόσια στήριξη του, δηλώνοντας ότι εάν επαινούσε την εργασία αυτή, θα ήταν σαν να επαινεί τον εαυτό του, δεδομένου ότι είχε και ο ίδιος τις ίδιες απόψεις από χρόνια. Ο Γιά­νος στενοχωρήθηκε σφοδρά απ' αυτή την απάντηση φοβούμενος ότι θα του έκλεβαν τις ιδέες και αρνήθηκε να δημοσιεύσει οτιδήποτε άλλο.

………………………………………………………………………………………………………...

ARTHUR SCHOPENHAUER (1788-1860)

19 ος ΑΙΩΝΑΣ

        Λίγοι φιλόσοφοι έχουν βιώσει στη ζωή τους μία επιτυχία μικρότερη από εκείνη του Αρθούρου Σοπενχάουερ. Το αριστούργη­μα του Ο Κόσμος, το οποίο έγραψε όταν ήταν μόλις τριάντα χρονών, γνώρισε την ολοκλη­ρωτική αποτυχία, σε τέτοιο βαθμό ώστε πολ­λά αντίτυπα ρίχτηκαν στη φωτιά. Αφού έλαβε μία φιλελεύθερη εκπαίδευση στο Βερολίνο το 1820 (όπου και είχε μία γνωστή διαμάχη με τον Χέγκελ) προσπάθησε για είκοσι τέσσερα εξάμηνα, μέχρι το 1831, να συνεχίσει να πα­ραδίδει μαθήματα, αλλά η φωνή του δεν α­κούστηκε από κανένα: μετά το πρώτο εξάμηνο κανένας μαθητής δεν γράφτηκε πια στο μάθη­μα του. Το 1833, αφού εγκατέλειψε τη διδα­σκαλία, μετακόμισε στη Φραγκφούρτη κι έ­μεινε εκεί μέχρι τον θάνατο του. Η φήμη, ω­στόσο, την οποία τόσο ανώφελα επεδίωκε, έ­φθασε στα τελευταία χρόνια της ζωής του με τη δημοσίευση του έργου Πάρεγρα και Παρα­λειπόμενα, μία συλλογή εξαίσιων αφορισμών, οι οποίοι ήταν γραμμένοι με ένα λαϊκό και γοητευτικό στυλ.

       Αυτές οι μεγάλες αποτυχίες οφείλονταν κατά βάση στις πολύ κακές σχέσεις που δια­τηρούσε ο Σοπενχάουερ με τον ακαδημαϊκό κόσμο: τα μαθήματα του Φίχτε ήταν κατά την άποψη του αηδιαστικά, εκείνα του Σέλινγκ κενά· ο Χέγκελ άξιζε ης χειρότερες προσβολές (μισθοφόρος, πληρωμένος φονιάς της αλήθειας, αργόστρο­φος τσαρλατάνος, ανούσιος, σιχαμερός, αμόρφωτος που φθάνει στο αποκορύφωμα της αυθάδειας μουτζουρώνοντας και σερβίροντας τους πιο τρελούς και μπερδεμένους παραλογισμούς). Είναι προ­φανές ότι από τον φιλόσοφο δεν έλειπαν τα επιχειρήματα, αλλά επίσης δεν του έλειπε και η ενθου­σιώδης αμφισβήτηση. Από την άλλη, και ίσως αυτός να ήταν ένας ακόμη πιο βαθύς λόγος της απο­τυχίας του, αξιολόγησε την καινοτομία της ελεύθερης σκέψης του, για πρώτη φορά στην ιστο­ρία της δυτικής φιλοσοφίας, σύμφωνα με τις προτάσεις της ανατολικής πνευματικότητας, και συγκεκριμένα τον βουδισμό και τον ινδουισμό (οι Βέδεςκαι οι Ουπανισάδες)

         Έργα: Η τετραπλή ρίζα της αρχής της επαρκούς λογικής (1813), Περί της οράσεως και των χρωμάτων (1816), Ο κόσμος ως βούληση και ως παράσταση (1818), Περί της βουλήσεως της φύσης (1836), Πάρεγρα και παραλειπόμενα (1851).


ΑΝΘΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ -ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ (1ον )

ΓΙΟΧΑΝ ΛΑΜΠΕΡΤ

 Από τότε που εμφανίστηκαν τα Στοιχεία του Ευκλείδη τον 3ο αι. π.Χ. όλοι πίστευαν ότι η ευκλείδεια γεωμετρία  ήταν το τελειότερο μαθηματικό σύστημα που είχε εμφανιστεί ποτέ. Βασισμένο στις πιο απλές υποθέσεις, καταφέρνει να δομήσει ένα θεαματικό οικοδό­μημα μαθηματικών θεωρημάτων. Η ευκλείδεια γεωμετρία ήταν το αρχετυπικό αξιωματικό συμπερασματικό σύστημα. Ωστόσο, αυτός ο ναός της γεωμετρίας είχε ένα μικρό ψεγάδι, κάτι σαν φαγούρα που δεν άφηνε τους μαθηματικούς να ησυχάσουν. Το διαβόητο σήμερα 5ο αίτημα του Ευκλείδη δηλώνει ότι «Εάν μια ευθεία που τέμνει δύο ευθείες, δημιουργεί εντός και επί τα αυτά γωνίες με άθροισμα λιγότερο από δύο ορθές, τότε αυτές οι δύο ευθείες, αν προεκταθούν προς την πλευρά αυτών των γωνιών, κάποτε θα συναντηθούν» (Και εάν εις δύο ευθείας ευθεία εμπίπτουσα τας εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίας δύο ορθών έλάσσονας ποιή, έκβαλλομένας τας δύο ευθείας έπ' άπειρον συμπίπτειν, έφ' α μέρτ ε'ισίν αϊ των δύο ορθών ελάσσονες).

Γνωστό ως το αξίωμα των παραλλήλων, δηλώνει με απλά λόγια ότι εάν δύο γραμμές δεν είναι παράλληλες, τότε κάπου τέμνονται. Όλοι συμφω­νούσαν ότι η πρόταση αυτή ήταν μεν αληθινή, αλλά φαινόταν υπερβολικά πολύπλοκη για να μπορεί κανείς να την κατατάξει στα αιτήματα, στις θεμελιώδεις δηλαδή αρχές, στις οποίες εδράζονται τα Στοιχεία. Έγιναν λοιπόν αρχικά πολλές προσπάθειες να αποδειχθεi ότι η πρόταση αυτή ήταν θεώρημα και ότι μπορούσε να συναχθεί από άλλα αξιώματα. Πολ­λοί νόμισαν κατά καιρούς ότι είχαν καταφέρει να το αποδείξουν, αλλά η προσεκτική ανά­λυση των αποδείξεων αυτών έδειχνε πάντα ότι οι νέες υποθέσεις στις οποίες οτηρίζονταi δεν ήταν στην ουσία παρά επαναδιατυπώσεις του 5ου αιτήματος. Η αντικατάσταση του από κάτι προφανέστερο αποδεικνυόταν δύσκολη επιχείρηση.

            Οι μαθηματικοί συνέχισαν παρ' όλα αυτά να ερευνούν το 5ο αξίωμα, ιδιαίτερα ο αλ-Χαγιάμ τον 11ο αι. και ο Νασίρ αλ-Ντιν αλ-Τούσι τον 13ο, που η λατινική μετάφραση των έργων τους ενέπνευσε τον Ιησουίτη μαθηματικό  Τσιρολάμο Σακέρι (1667-1733). Λίγο πριν πεθάνει ο Σακέρι έβγαλε ένα βιβλίο με τίτλο  (Ο Ευκλείδης απαλλαγμένος από λάθη), στο οποίο προσπαθούσε να αποδείξει το αίτημα των παραλλήλων με τη μέθοδο της εις άτο­πον απαγωγής. Κατασκεύασε αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως «τετράπλευρο του Σακέρι» με δυο ζευγάρια «παράλληλων» ευθειών και τρεις διαφορετικές υποθέσεις ως προς το άθροισμα των εσωτερι -κών γωνιών του τετραπλεύρου: ότι δηλαδή το άθροισμα τους ήταν ή μικρότερο ή ίσο ή μεγαλύ­τερο από τέσσερις ορθές γωνίες ή 360°. Εάν μπο­ρούσε να αποδείξει ότι η πρώτη και η τρίτη υπόθεση κατέληγαν σε λογική ανακολουθία, τότε θα είχε αποδείξει ότι η μεσαία υπόθεση, η οποία ήταν ισο-

δύναμη με το αξίωμα των παραλλήλων, ήταν η μόνη συνεπής με τον εαυτό της γεωμεττρία Ο Σακέρι εύκολα απέρριψε την τρίτη υπόθεση, καθώς οδηγούσε σε λογικές αντιφά­σεις. Ωστόσο, η πρώτη υπόθεση δεν οδηγούσε σε λογικά προβλήματα. Στην πράγματικότητα μάλιστα, με βάση αυτό το νέο αξίωμα, ο Σακέρι άρχισε να αποδεικνύει το ένα θεώρημα μετά το άλλο. Διαπίστωσε ότι μπροστά στα μάτια του είχε αρχίσει να χτίζεται η πρώτη μη ευκλείδεια γεωμετρία - όμως εκείνος αρνιόταν να το πιστέψει. Ας μην ξεχνάμε ότι σκοπός του ήταν να αναιρέσει την εγκυρότητα αυτής της υπόθεσης και όχι να κατα­σκευάσει μια καινούργια γεωμετρία. Σ' αυτό το σημείο αποφάσισε να θυμηθεί την εκκλησιαστική του παιδεία, οπότε απέρριψε αυτή τη νέα γεωμετρία με θεολογικά επιχει­ρήματα. Οι μαθηματικοί του μέλλοντος θα ήταν λιγότερο δύσπιστοι από κείνον.

Αυτή η μανία με το 5ο αξίωμα είχε βαθύτερη έννοια, που πήγαινε πολύ πιο πέρα από τη λογική καθαρότητα. Αυτό που διακυβευόταν εδώ ήταν η φύση του ίδιου του χώρου. Η ευκλείδεια γεωμετρία δεν ήταν μόνο ένα συνεκτικό και αυστηρό μαθημα­τικό σύστημα, ήταν ο τρόπος με τον οποίο ήταν δομημένος ο ίδιος ο χώρος - η συντομότερη δια­δρομή μεταξύ δύο σημειων όταν μια ευθεία γραμμή, όχι μόνο στη θεωρία αλλά και στην πράξη. Ωστόσο όμως, υπήρχε ήδη μια γνωστή γεωμετρία, στην οποία ακόμα και αυτό δεν ήταν σωστό, η κλασική σφαιρική γεωμετρία. Η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων στην επιφάνεια μιας σφαίρας είναι το μικρότερο τόξο του μέγιστου κύκλου που ενώνει αυτά τα δύο σημεία. Επίσης το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου πάνω σε μία σφαίρα είναι μεγαλύτερο από 180°. Οπότε προς τι όλη αυτή η φασαρία; Η ουσία ήταν η διάκριση μεταξύ εγγενών και εξωγενών ιδιοτήτων μιας γεωμετρίας. Εξωγενείς ιδιότητες είναι αυτές οι οποίες μπορούν να συναχθούν απ' έξω απ' το σύστημα¹ εγγενείς είναι αυτές οι οποίες συνάγονται εσωτε­ρικά. Π .χ., οι κανόνες της σφαιρικής γεωμετρίας μπορούν να συναχθούν μέσω της παρα­τήρησης μιας σφαίρας απ' έξω, όπως όταν κρατάμε μία σφαίρα στο χέρι μας, αλλά πώς μπορούμε να πούμε από καθαρά γεωμετρική άποψη, εάν ζούμε πάνω σε μια σφαίρα ή όχι; Μπορούμε να πούμε γεωμετρικά εάν ζούμε σε επίπεδη γη ή σε σφαιρική; Ή, για να το πούμε αλλιώς, υπάρχουν εγγενείς ιδιότητες οι οποίες να είναι διαφορετικές για το επί­πεδο απ' ό,τι είναι για τη σφαίρα; Αυτές οι σχετικά απλές έννοιες είναι σημαντικές, όταν θέλουμε να καταλάβουμε την πραγματική φύση του τρισδιάστατου χώρου, όπου έχουμε πρόσβαση μόνο σε εγγενείς ιδιότητες.

                   Ο Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ (1728-77) έφτασε πολύ κοντά σε ένα πλήρες μη ευκλεί­δειο σύστημα. Στο βιβλίο του Θεωρία παράλληλων γραμμών (1766) χρησιμοποίησε μια μέθοδο παρόμοια με του Σακέρι για να δείξει ότι τα τρία σενάρια αντιστοιχούσαν στη δυνατότητα ύπαρξης ενός τριγώνου, του οποίου οι γωνίες να είναι μικρότερες, ίσες ή μεγαλύτερες από 180°. Απέδειξε επίσης, ότι η σφαιρική γεωμετρία εμπίπτει στην τρίτη περίπτωση και υπέθεσε ότι η πρώτη περίπτωση πρέπει να αντιστοιχεί στη γεωμετρία μίας σφαίρας με φανταστική ακτίνα. Αντικαθιστώντας την πραγματική ακτίνα με μία φανταστική έφτασε σε θεωρήματα και τύπους, τα οποία αργότερα ονομάστηκαν υπερ­βολική γεωμετρία, στην οποία τα γνωστά  ημχ και συνχ αντικαθίστανται από υπερημχ και υπερσυνχ. Έτσι, αν και η ιδέα φαίνεται από φυσική άποψη εξωφρενική, η μαθηματική της έκφραση ήταν απόλυτα ορθή.Οι υποθέσεις του Λάμπερτ,όπως αποκαλύφθηκε αργότερα ,δεν απείχαν πολύ από την αλήθεια.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ    RICHARD MANKIEWICZ