ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ-ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ (2ον)

……………………………………………………………………………………………………………

          Στις αρχές του 19ου αι., όταν όλες οι προσπάθειες απόδειξης του 5ου αξιώματος είχαν καταλήξει σε αποτυχία, οι μαθηματικοί είχαν αρχίσει να εξετάζουν την πιθανότητα να υπάρχουν και μη ευκλείδειες, συνεπείς με τον εαυτό τους γεωμετρίες. Σ' ένα ακόμα καταπληκτικό σενάριο ταυτόχρονης ανακάλυψης, δύο άγνωστοι έως τότε μαθηματικό, παίζουν πρωταγωνιστικό ρόλο.

         

           Ο Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι (1793-1856) ήταν γιος ενός χαμηλόβαθμου δημοσίου υπαλλήλου στη Ρωσία ο οποίος πέθανε όταν ο Νικολάι ήταν εφτά χρονών, αφήνοντας μία χήρα και τρεις γιους σε πολύ δύσκολη οικονομική κατάσταση. Μετακομίζοντας ατό Καζάν, τα παιδιά αρίστευαν στα μαθήματα και ο Νικολάι περισσότερο απ' όλους. Μπήκε στο καινούργιο τότε Πανεπιστήμιο του Καζάν σε ηλικία δεκατεσσάρων ετών, όπου ήρθε σε επαφή με διακεκριμένους καθηγητές, Γερμανούς κυρίως. Σε ηλικία εικοσιενός ετών ο Λομπατσέφσκι διορίστηκε βοηθός και δύο χρόνια αργότερα τακτικός καθηγητής. Καθώς ήταν υπομονετικός, μεθοδικός και εξαιρετικά εργατικός, κέρδισε την εκτίμηση των συναδέλφων του, οι οποίοι τον φόρτωναν με όλων των ειδών τις άχα­ρες διοικητικές δουλειές. Βρέθηκε έτσι να είναι, εκτός των άλλων, βιβλιοθηκάριος άλλο και έφορος του χαώδους μουσείου του πανεπιστημίου. Χωρίς βοηθούς, έκανε όλη τη δουλειά μόνος του, βάζοντας τάξη και στη βιβλιοθήκη και οτο μουσείο.

          

          Το 1825 η κυβέρνηση διόρισε επιτέλους έναν επαγγελματία έφορο στο πανεπιστήμιο ο οποίος χρησιμοποίησε τις πολιτικές του διασυνδέσεις για να προωθήσει τον Λομπα­τσέφσκι στην κορυφή της ιεραρχίας. Το 1827 ονομάστηκε πρύτανης του πανεπιστήμιο και με τη συνηθισμένη φιλοτιμία του άρχισε να αναδιοργανώνει το προσωπικό, να φιλελευρεροποιει την διδασκαλία και νά βελτιώνει την υλική υποδομή. Μια σημαντική ενέργειά του ήταν η ίδρυση ενός αστεροσκοπείου. Το πανεπιστήμιο ήταν η ζωή του και το λάτρευε. Το1830, όταν η πόλη του Καζάν χτυπήθηκε από τη χολέρα, ο Λομπατσέφκσι διέταξε όλους τους φοιτητές, το προσωπικό και τις οικογένειες τους να κλειστούν μέσα στο χώρο του πανεπιστημίου. Με τους αυστηρούς κανόνες υγιεινής που επέβαλε, κατάφερε να έχει μόνο 16 νεκρούς από τους 660 έγκλειστους. Το 1846, σε αναγνώριση προφανώς της ακούραστης δουλειάς του για το καλό του Πανεπιστημίου του Καζάν, η κυβέρνηση εντε­λώς ανεξήγητα τον καθαίρεσε από πρύτανη και του αφαίρεσε και την έδρα του καθηγητη. Οι συνάδελφοι του και οι φίλοι έκαναν έντονες παραστάσεις στις αρχές αλλά μάταια. Η όραση του είχε τώρα πια αρχίσει να τον εγκαταλείπει, αλλά εκείνος συνέχιζε τις μαθηματικές του έρευνες. Την τελευταία του δημοσίευση αναγκάστηκε να την υπαγορεύσει, καθως ήταν πια σχεδόν ολοκληρωτικά τυφλός.

   

           Το 1826 ο Λομπατσέφσκι υπέβαλε την πρώτη του εργασία στο πανεπιστήμιο (στα γαλλικά, που τότε ήταν η γλώσσα της εκπαίδευσης), στην οποία προδιέγραψε μερικές απ' τις ιδέες του για τη γεωμετρία αλλά ο Αγγελιαφόρος του Καζάν χρειάστηκε τρία ολόκληρα χρόνια για να δημοσιεύσει τις Αρχές γεωμετρίας. Έτσι, η επίσημη χρονολογία γέννησης της μη ευκλείδειας γεωμετρίας, τουλάχιστον στη μορφή που την παρουσίασε ο Λομπα­τσέφσκι, είναι το 1829. Στην εργασία του δήλωνε ότι το 5ο αίτημα δεν μπορούσε να αποδε­χθεί και κατασκεύαζε μια καινούργια γεωμετρία αντικαθιστώντας το αίτημα αυτό με ένα άλλο. Υιοθέτησε στο σύνολο του αυτό που ο Σακέρι και ο Λάμπερτ είχαν μόνο υποπτευθει και κατασκεύασε μια γεωμετρία, το ίδιο αυστηρή και λογική όσο και η ευκλείδεια. Ακόμα και για τον ίδιο τον Λομπατσέφσκι, μερικά απ' τα θεω­ρήματα στα οποία κατέληξε έμοιαζαν αντίθετα με την κοινή άποψη περί χώρου γι αυτό και ονόμασε την ανακάλυψη του «φανταστική γεωμε­τρία». Όμως δεν είχε καμία αμφιβολία για τη σημασία της εργασίας του. Ανάμεσα στο 1835 και στο 1838 εκδόθηκε στα ρωσικά το βιβλίο του Νέες βάσεις της γεωμετρίας και το 1840 το Γεωμετρικές έρευνες πάνω στη θεωρία των παραλλήλων στα γερμανικά. Με βάση αυτό το βιβλίο, ο Γκάους σύστησε τον Λομπατσέφσκι στην Επιστημονική Εταιρεία του Γκαίτινγκεν, μέλος της οποίας έγινε το 1842. Ωστόσο, ο Γκάους αρνήθηκε να υποστηρίξει επίσημα την εργασία του Λομπα­τσέφσκι, συμβάλλοντας έτσι στην αργή διάδοση στη μαθηματική κοι­νότητα αυτών των επαναστατικών ιδεών. Αυτό για τον Λομπατσέφσκι ήταν μεγάλη απογοήτευση, ιδιαίτερα τώρα που είχε απολυθεί από το πανεπιστήμιο και ένιωθε ότι επρόκειτο να τυφλωθεί. Το 1855 το τελευ­ταίο του βιβλίο, Η πανγεωμετρία εκδόθηκε ταυτόχρονα στα γαλλικά και στα ρωσικά. Ο Λομπατσέφσκι, «ο Κοπέρνικος της γεωμετρίας», πέθανε την επόμενη χρονιά. Η φυσική ερμηνεία της μη ευκλείδειας γεωμετρίας έγινε από τον Ευγένιο Μπελτράμι (1835-1900) που απέδειξε ότι η επιφά­νεια της ψευδοσφαίρας ικανοποιούσε τη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι αλλά και τη ν προγενέστερη εργασία του Λάμπερτ.

             Το καινούργιο αίτημα του Λομπατσέφσκι μπορεί να εξηγηθεί ως εξής. Ας φανταστούμε μία ευθεία γραμμή που προεκτείνεται επ' άπειρον και ας πάρουμε ένα σημείο στο χώρο που να μη βρίσκεται πάνω σ' αυτή τη γραμμή. Το αίτημα του Ευκλείδη λέει ότι απ' αυτό το σημείο μπορεί να αχθεί μία και μόνο γραμμή, η οποία να είναι παράλληλη με την πρώτη. Ο Λομπατσέφσκι λέει ότι από αυτό το σημείο μπορούν να αχθούν πολ­λές γραμμές και όλες αυτές να είναι παράλληλες προς την αρχική, με την έννοια ότι δεν συναντιούνται μαζί της πουθενά. Εάν εκφράσουμε αυτή την ιδέα με μαθηματικούς όρους, καταλήγουμε σε μία περίεργη μεν αλλά εντελώς λογική και συνεκτική γεωμετρία. Στη ν πραγματικό­τητα, υπάρχουν άπειρες τέτοιες γεωμετρίες, που η καθεμιά τους εξαρτάται από τη «γωνία του παραλληλισμού».

           Η απροθυμία του Γκάους να προωθήσει την εργασία του Λομπα­τσέφσκι μπορεί να αποδοθεί στην επιθυμία του να κρατήσει ίσες απο­στάσεις από τον Λομπατσέφσκι και απ' το φίλο του Φάρκας Μπόλυαϊ, του οποίου ο γιος Γιάνος (1802-60) είχε αναπτύξει, παράλληλα με τον Λομπατσέφσκι, μία μη ευκλείδεια γεωμετρία. Ο Φάρκας ήταν καθηγητής μαθηματικών σ' ένα χωριό στην Ουγγαρία (που τώρα βρί­σκεται στη Ρουμανία) και είχε παθιαστεί με την προσπάθεια να αποδεί­ξει το 5ο αίτημα. Όταν συνέχισε ο γιος του το έργο αυτό, θεώρησε ότι ματαιοπονεί και του έγραψε λέγοντας «για τ' όνομα του Θεού, σε ικετεύω, παράτα τα. Αυτό το πάθος είναι χειρότερο κι απ' το πάθος του αισθησιασμού, γιατί μπορεί να σου στερήσει το χρόνο σου, την υγεία σου, την ψυχική σου ηρεμία και την ευτυχία σου>>Ο Γιάνος δεν πείστηκε απ' αυτές τις αποστροφές, αλλά συνέχισε απτόητος τις έρευνες του, για να φτάσει το 1829 στα ίδια σχεδόν συμπεράσματα με τον Λομπατσέφσκι.

            Ο Μπόλυαϊ ανέπτυξε αυτό που ονόμαζε ο ίδιος την «απόλυτη επιστήμη του χώρου» πάνω στις ίδιες αρχές με τον Λομπατσέφσκι. Ο πατέρας του δημοσίευσε αυτή την εργα­σία σαν παράρτημα σε μία δική του πραγματεία. Το έργο έχει χρονολογία 1829, την ίδια με το άρθρο του Λομπατσέφσκι, αλλά δεν τυπώθηκε παρά μόνο το 1832. Στριμωγμένο κάπου στο τέλος ενός παλαιομοδίτικου βιβλίου, μπορεί να είχε μείνει εντελώς άγνωστο, εάν ο Φάρκας δεν ήταν φίλος του Γκάους, στον οποίο έστειλε ένα αντίγραφο. Η αντί­δραση του Γκάους ήταν να εκφράσει στεγνά την επιδοκιμασία του, αλλά να αρνηθεί τη δημόσια στήριξη του, δηλώνοντας ότι εάν επαινούσε την εργασία αυτή, θα ήταν σαν να επαινεί τον εαυτό του, δεδομένου ότι είχε και ο ίδιος τις ίδιες απόψεις από χρόνια. Ο Γιά­νος στενοχωρήθηκε σφοδρά απ' αυτή την απάντηση φοβούμενος ότι θα του έκλεβαν τις ιδέες και αρνήθηκε να δημοσιεύσει οτιδήποτε άλλο.

………………………………………………………………………………………………………...