ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ -ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ (1ον )

ΓΙΟΧΑΝ ΛΑΜΠΕΡΤ

 Από τότε που εμφανίστηκαν τα Στοιχεία του Ευκλείδη τον 3ο αι. π.Χ. όλοι πίστευαν ότι η ευκλείδεια γεωμετρία  ήταν το τελειότερο μαθηματικό σύστημα που είχε εμφανιστεί ποτέ. Βασισμένο στις πιο απλές υποθέσεις, καταφέρνει να δομήσει ένα θεαματικό οικοδό­μημα μαθηματικών θεωρημάτων. Η ευκλείδεια γεωμετρία ήταν το αρχετυπικό αξιωματικό συμπερασματικό σύστημα. Ωστόσο, αυτός ο ναός της γεωμετρίας είχε ένα μικρό ψεγάδι, κάτι σαν φαγούρα που δεν άφηνε τους μαθηματικούς να ησυχάσουν. Το διαβόητο σήμερα 5ο αίτημα του Ευκλείδη δηλώνει ότι «Εάν μια ευθεία που τέμνει δύο ευθείες, δημιουργεί εντός και επί τα αυτά γωνίες με άθροισμα λιγότερο από δύο ορθές, τότε αυτές οι δύο ευθείες, αν προεκταθούν προς την πλευρά αυτών των γωνιών, κάποτε θα συναντηθούν» (Και εάν εις δύο ευθείας ευθεία εμπίπτουσα τας εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίας δύο ορθών έλάσσονας ποιή, έκβαλλομένας τας δύο ευθείας έπ' άπειρον συμπίπτειν, έφ' α μέρτ ε'ισίν αϊ των δύο ορθών ελάσσονες).

Γνωστό ως το αξίωμα των παραλλήλων, δηλώνει με απλά λόγια ότι εάν δύο γραμμές δεν είναι παράλληλες, τότε κάπου τέμνονται. Όλοι συμφω­νούσαν ότι η πρόταση αυτή ήταν μεν αληθινή, αλλά φαινόταν υπερβολικά πολύπλοκη για να μπορεί κανείς να την κατατάξει στα αιτήματα, στις θεμελιώδεις δηλαδή αρχές, στις οποίες εδράζονται τα Στοιχεία. Έγιναν λοιπόν αρχικά πολλές προσπάθειες να αποδειχθεi ότι η πρόταση αυτή ήταν θεώρημα και ότι μπορούσε να συναχθεί από άλλα αξιώματα. Πολ­λοί νόμισαν κατά καιρούς ότι είχαν καταφέρει να το αποδείξουν, αλλά η προσεκτική ανά­λυση των αποδείξεων αυτών έδειχνε πάντα ότι οι νέες υποθέσεις στις οποίες οτηρίζονταi δεν ήταν στην ουσία παρά επαναδιατυπώσεις του 5ου αιτήματος. Η αντικατάσταση του από κάτι προφανέστερο αποδεικνυόταν δύσκολη επιχείρηση.

            Οι μαθηματικοί συνέχισαν παρ' όλα αυτά να ερευνούν το 5ο αξίωμα, ιδιαίτερα ο αλ-Χαγιάμ τον 11ο αι. και ο Νασίρ αλ-Ντιν αλ-Τούσι τον 13ο, που η λατινική μετάφραση των έργων τους ενέπνευσε τον Ιησουίτη μαθηματικό  Τσιρολάμο Σακέρι (1667-1733). Λίγο πριν πεθάνει ο Σακέρι έβγαλε ένα βιβλίο με τίτλο  (Ο Ευκλείδης απαλλαγμένος από λάθη), στο οποίο προσπαθούσε να αποδείξει το αίτημα των παραλλήλων με τη μέθοδο της εις άτο­πον απαγωγής. Κατασκεύασε αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως «τετράπλευρο του Σακέρι» με δυο ζευγάρια «παράλληλων» ευθειών και τρεις διαφορετικές υποθέσεις ως προς το άθροισμα των εσωτερι -κών γωνιών του τετραπλεύρου: ότι δηλαδή το άθροισμα τους ήταν ή μικρότερο ή ίσο ή μεγαλύ­τερο από τέσσερις ορθές γωνίες ή 360°. Εάν μπο­ρούσε να αποδείξει ότι η πρώτη και η τρίτη υπόθεση κατέληγαν σε λογική ανακολουθία, τότε θα είχε αποδείξει ότι η μεσαία υπόθεση, η οποία ήταν ισο-

δύναμη με το αξίωμα των παραλλήλων, ήταν η μόνη συνεπής με τον εαυτό της γεωμεττρία Ο Σακέρι εύκολα απέρριψε την τρίτη υπόθεση, καθώς οδηγούσε σε λογικές αντιφά­σεις. Ωστόσο, η πρώτη υπόθεση δεν οδηγούσε σε λογικά προβλήματα. Στην πράγματικότητα μάλιστα, με βάση αυτό το νέο αξίωμα, ο Σακέρι άρχισε να αποδεικνύει το ένα θεώρημα μετά το άλλο. Διαπίστωσε ότι μπροστά στα μάτια του είχε αρχίσει να χτίζεται η πρώτη μη ευκλείδεια γεωμετρία - όμως εκείνος αρνιόταν να το πιστέψει. Ας μην ξεχνάμε ότι σκοπός του ήταν να αναιρέσει την εγκυρότητα αυτής της υπόθεσης και όχι να κατα­σκευάσει μια καινούργια γεωμετρία. Σ' αυτό το σημείο αποφάσισε να θυμηθεί την εκκλησιαστική του παιδεία, οπότε απέρριψε αυτή τη νέα γεωμετρία με θεολογικά επιχει­ρήματα. Οι μαθηματικοί του μέλλοντος θα ήταν λιγότερο δύσπιστοι από κείνον.

Αυτή η μανία με το 5ο αξίωμα είχε βαθύτερη έννοια, που πήγαινε πολύ πιο πέρα από τη λογική καθαρότητα. Αυτό που διακυβευόταν εδώ ήταν η φύση του ίδιου του χώρου. Η ευκλείδεια γεωμετρία δεν ήταν μόνο ένα συνεκτικό και αυστηρό μαθημα­τικό σύστημα, ήταν ο τρόπος με τον οποίο ήταν δομημένος ο ίδιος ο χώρος - η συντομότερη δια­δρομή μεταξύ δύο σημειων όταν μια ευθεία γραμμή, όχι μόνο στη θεωρία αλλά και στην πράξη. Ωστόσο όμως, υπήρχε ήδη μια γνωστή γεωμετρία, στην οποία ακόμα και αυτό δεν ήταν σωστό, η κλασική σφαιρική γεωμετρία. Η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων στην επιφάνεια μιας σφαίρας είναι το μικρότερο τόξο του μέγιστου κύκλου που ενώνει αυτά τα δύο σημεία. Επίσης το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου πάνω σε μία σφαίρα είναι μεγαλύτερο από 180°. Οπότε προς τι όλη αυτή η φασαρία; Η ουσία ήταν η διάκριση μεταξύ εγγενών και εξωγενών ιδιοτήτων μιας γεωμετρίας. Εξωγενείς ιδιότητες είναι αυτές οι οποίες μπορούν να συναχθούν απ' έξω απ' το σύστημα¹ εγγενείς είναι αυτές οι οποίες συνάγονται εσωτε­ρικά. Π .χ., οι κανόνες της σφαιρικής γεωμετρίας μπορούν να συναχθούν μέσω της παρα­τήρησης μιας σφαίρας απ' έξω, όπως όταν κρατάμε μία σφαίρα στο χέρι μας, αλλά πώς μπορούμε να πούμε από καθαρά γεωμετρική άποψη, εάν ζούμε πάνω σε μια σφαίρα ή όχι; Μπορούμε να πούμε γεωμετρικά εάν ζούμε σε επίπεδη γη ή σε σφαιρική; Ή, για να το πούμε αλλιώς, υπάρχουν εγγενείς ιδιότητες οι οποίες να είναι διαφορετικές για το επί­πεδο απ' ό,τι είναι για τη σφαίρα; Αυτές οι σχετικά απλές έννοιες είναι σημαντικές, όταν θέλουμε να καταλάβουμε την πραγματική φύση του τρισδιάστατου χώρου, όπου έχουμε πρόσβαση μόνο σε εγγενείς ιδιότητες.

                   Ο Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ (1728-77) έφτασε πολύ κοντά σε ένα πλήρες μη ευκλεί­δειο σύστημα. Στο βιβλίο του Θεωρία παράλληλων γραμμών (1766) χρησιμοποίησε μια μέθοδο παρόμοια με του Σακέρι για να δείξει ότι τα τρία σενάρια αντιστοιχούσαν στη δυνατότητα ύπαρξης ενός τριγώνου, του οποίου οι γωνίες να είναι μικρότερες, ίσες ή μεγαλύτερες από 180°. Απέδειξε επίσης, ότι η σφαιρική γεωμετρία εμπίπτει στην τρίτη περίπτωση και υπέθεσε ότι η πρώτη περίπτωση πρέπει να αντιστοιχεί στη γεωμετρία μίας σφαίρας με φανταστική ακτίνα. Αντικαθιστώντας την πραγματική ακτίνα με μία φανταστική έφτασε σε θεωρήματα και τύπους, τα οποία αργότερα ονομάστηκαν υπερ­βολική γεωμετρία, στην οποία τα γνωστά  ημχ και συνχ αντικαθίστανται από υπερημχ και υπερσυνχ. Έτσι, αν και η ιδέα φαίνεται από φυσική άποψη εξωφρενική, η μαθηματική της έκφραση ήταν απόλυτα ορθή.Οι υποθέσεις του Λάμπερτ,όπως αποκαλύφθηκε αργότερα ,δεν απείχαν πολύ από την αλήθεια.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ    RICHARD MANKIEWICZ